Matriz booleana

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Una matriz booleana es una matriz de números cuyas componentes o entradas son exclusivamente ceros o unos. Las matrices booleanas son útiles porque pueden representar objetos abstractos como relaciones binarias o grafos.

Una matriz booleana general de nxm elementos tiene la forma:

Unión / Disyunción[editar]

Sean A, B y C matrices booleanas de nxm elementos. Se define  la unión de A y B, por:

Intersección / Conjunción[editar]

Sean A, B y C matrices booleanas de nxm elementos. Se define  la intersección de A y B, por:

OPERACIONES CON MATRICES BOOLEANAS[EDITAR]

Las operaciones que se pueden realizar entre matrices booleanas son tres: unión, conjunción y producto booleano. Sin embargo, estas operaciones no pueden realizarse sobre dos matrices cualesquiera, sino que deben cumplir ciertos criterios para poder llevarse a cabo. En particular, en el caso de la unión y la conjunción, las matrices que intervienen en la operación deben tener el mismo tamaño, y en el caso del producto booleano, las matrices deben cumplir con las mismas condiciones que para formar el producto de matrices.

Potencia booleana r-esima

La potencia r-ésima de una matriz cuadrada A es el producto booleano de r (entero positivo) factores iguales. Esta potencia booleano  r-ésima se denota por A[r].

                                             

TIPOS DE OPERACIONES[EDITAR]

1. Operaciones bit a bit: Ejecutan las operaciones lógicas AND, OR, XOR, NOT, etc, sobre los bits individuales de los operandos.
2. Operaciones de desplazamiento: Desplazan los bits de los operandos hacia la derecha o hacia la izquierda una o más posiciones.
3. Operaciones de rotación: Rotan los bits del operando hacia la derecha o hacia la izquierda una o más posiciones. Pueden usar o no el flag del acarreo como un bit adicional en la rotación.

OPERADORES BIT A BIT[EDITAR]

En las explicaciones de abajo, cualquier indicación de una posición de un bit es contada de derecha a izquierda a partir del bit menos significativo. Por ejemplo, el valor binario 0001 (el decimal 1) tiene ceros en cada posición excepto en la primera.

NOT[editar]

A	NOT A
0	1
1	0

El NOT bit a bit, o bitwise, o complemento, es una operación unaria que realiza la negación lógica en cada bit, invirtiendo los bits del número, de tal manera que los ceros se convierten en 1 y viceversa. Por ejemplo:

NOT 10011
  = 01100

• El NOT forma el complemento a uno de un valor binario dado.
• En un número entero con signo en complemento a dos, el NOT da como resultado el inverso aditivo del número menos 1, es decir NOT x = -x - 1. Para obtener el complemento a dos de un número, se debe sumar 1 al resultado, dando el negativo del número. Esto equivale a un cambio de signo del número: +5 se convierte en -5, y -5 se convierte en +5.
• Para los enteros sin signo, el complemento bit a bit es la “reflexión de espejo” del número a través del punto medio del rango del entero. Por ejemplo, para los enteros sin signo de 8 bits, NOT x = 255 - x, para los enteros sin signo de 16 bits, NOT x = 65535 - x, y en general, para los enteros sin signo de n bits, NOT x = (2n - 1) - x.

AND[editar]

A	B	A AND B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

El AND bit a bit, o bitwise, toma dos números enteros y realiza la operación AND lógica en cada par correspondiente de bits. El resultado en cada posición es 1 si el bit correspondiente de los dos operandos es 1, y 0 de lo contrario, por ejemplo:

    0101
AND 0011
  = 0001

OR[editar]
A
B
A OR B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Una operación OR de bit a bit, o bitwise, toma dos números enteros y realiza la operación OR inclusivo en cada par correspondiente de bits. El resultado en cada posición es 1 si el bit correspondiente de cualquiera de los dos operandos es 1, y 0 si ambos bits son 0, por ejemplo:
   0101
OR 0011
 = 0111
XOR[editar]
A
B
A XOR B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
El XOR bit a bit, o bitwise, toma dos números enteros y realiza la operación OR exclusivo en cada par correspondiente de bits. El resultado en cada posición es 1 si el par de bits son diferentes y cero si el par de bits son iguales. Por ejemplo:
    0101
XOR 0011
  = 0110
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Las Compuertas Lógicas son circuitos electrónicos conformados internamente por transistores que se encuentran con arreglos especiales con los que otorgan señales de voltaje como resultado o una salida de forma booleana, están obtenidos por operaciones lógicas binarias (suma, multiplicación).
¿QUÉ ES EL ÁLGEBRA BOOLEANA?
Es una rama especial del álgebra que se usa principalmente en electrónica digital. El álgebra booleana fue inventada en el año 1854 por el matemático inglés George Boole.
El álgebra de Boole es un método para simplificar los circuitos lógicos (o a veces llamados circuitos de conmutación lógica) en electrónica digital.
Mapa de Karnaugh
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Ejemplo de mapa de Karnaugh.
Un mapa de Karnaugh (también conocido como tabla de Karnaugh o diagrama de Veitch, abreviado como Mapa-K o Mapa-KV) es un diagrama utilizado para la simplificación de funciones algebraicas Booleanas. El mapa de Karnaugh fue inventado en 1953 por Maurice Karnaugh, un físico y matemático de los laboratorios Bell.
Los mapas de Karnaugh reducen la necesidad de hacer cálculos extensos para la simplificación de expresiones booleanas, aprovechando la capacidad del cerebro humano para el reconocimiento de patrones y otras formas de expresión analítica, permitiendo así identificar y eliminar condiciones muy inmensas.
Grafo dirigido
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Un grafo dirigido.
Un grafo dirigido o digrafo es un tipo de grafo en el cual las aristas tienen un sentido definido,1​ a diferencia del grafo no dirigido, en el cual las aristas son relaciones simétricas y no apuntan en ningún sentido.
Al igual que en el grafo generalizado, el grafo dirigido está definido por un par de conjuntos , donde:
, un conjunto no vacío de objetos simples llamados vértices o nodos.
 es un conjunto de pares ordenados de elementos de  denominados aristas o arcos, donde por definición un arco va del primer nodo (a) al segundo nodo (b) dentro del par.
ALGEBRA
Operaciones con polinomios
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Dados los polinomios ${\displaystyle \scriptstyle P(x),\ Q(x),\ R(x)}$, de la forma general:
${\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\dots +a_{n}x^{n}\,}$
o de forma compacta mediante el Sumatorio de los términos del polinomio:
${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$
podemos definir como operaciones con polinomios las operaciones aritméticas o algebraicas, que partiendo de uno o más de esos polinomios nos da unos valores u otro polinomio, según la operación de que se trate.

Productos notables
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Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.
Factor común
Representación gráfica de la regla de factor común.
El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es
 (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: ca y cb.
Ejemplo:
Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio
Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:
Un trinomio de la expresión siguiente:  se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:
En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.
Ejemplo:
Simplificando:
Producto de dos binomios con un término común
Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común.
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.
Ejemplo:
Agrupando términos:
Luego:
Producto de dos binomios conjugados
Véase también: Conjugado (matemática).
Producto de binomios conjugados.
Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.
Ejemplo:
Agrupando términos:
A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.
Polinomio al cuadrado
Elevación de un trinomio al cuadrado de forma gráfica.
Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.
Ejemplo:
Multiplicando los monomios:
Agrupando términos:
Luego:
Binomio al cubo o cubo de un binomio
Descomposición volumétrica del binomio al cubo.
Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:
El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
El cubo del segundo término.
Identidades de Cauchy:
Ejemplo:
Agrupando términos:
Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:
El cubo del primer término.
Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
Menos el cubo del segundo término.
Identidades de Cauchy:
Ejemplo:
Agrupando términos:
Identidad de Argand
Identidades de Gauss
Identidades de Legendre
Identidades de Lagrange
Artículo principal: Identidad de Lagrange.
Otras identidades
Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique a cuáles productos se les puede considerar notables, y a cuáles no. A otras fórmulas, aunque menos usadas que las anteriores, en ciertos contextos se les puede calificar de productos notables. Entre ellas se destacan:
Adición de cubos:
Diferencia de cubos:
Es más frecuente listar las dos expresiones anteriores como fórmulas de factorización, ya que los productos no tienen una forma particularmente simétrica, pero el resultado sí (contrástese, por ejemplo, con la fórmula de binomio al cubo).
La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias enésimas (o n - ésimas: xn).
Suma de potencias enésimas:
Si -sólo si- n es impar, 
Diferencia de potencias enésimas:
Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante el teorema del binomio.
Para representar un cubo como suma de dos cuadrados existe una fórmula ingeniosa:
Caso #1 - Factoreo por factor común

Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor común.

Por ejemplo


Otros ejemplos: a) 8X + 2Y = 2 * (4X + Y) (En este caso el factor común es 2)
b) a2 + 2a = a(a+2)

c) 10b + 30ab2 = 10b(1 + 3ab)

d) 10a2 + 5a + 15a3 = 5a(2a + 1 + 3a2)

e) 5a3b2x + 15a4bx2 − 35a2b2x4y5 = 5a2bx(ab + 3a2x − 7bx3y5 )

Caso #2 - Factoreo por agrupamiento

Algunas veces en un polinomio los términos no contienen ningún factor común, pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.

Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total de la expresión.

Ejemplos: Factorizar:

a) 5a + 5b + ax + bx . Agrupando los términos que tengan algún factor común se tiene: 5(a+b)+ x(a+ b) = (a +b)(5 + x) o también a(5+ x)+ b(5+ x) = (a +b)(5 + x)

b) x2 +ax+bx+ab= x(x+a)+b(x+a)=(x+a)(x+b)

c) 8ax−bx+8ay−by) =8a(x+y)−b(x+y)=(x+y)(8a −b)

Caso #3 - Factoreo por Trinomio cuadrado perfecto.

En este caso se tiene un polinomio de grado dos y cuyas raíces están en el campo de los números reales, por ejemplo.

X^2 ± 2*a*X + a^2 = (X ± a)^2



Caso #4 - Factoreo por fiferencia de cuadrados.

Este es el caso de un producto de dos binomios cuya diferencia es solo el signo del segundo término.

(a + b) * (a – b) = a^2 – b^2

Caso #5 - Factoreo por Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción.

Este caso ocurre cuando se posee un trinomio cuadrado perfecto en el que no es posible obtener dos raíces iguales y en el campo de los números reales. Se suma y resta la cantidad necesaria para obtener la forma del trinomio deseado.


X^2 + 2X – 5 = (X^2 + 2X + 2) – 2 – 5 = (X + 1)^2 – 7

Caso #6 - Factoreo por Trinomio de la forma X^2 + BX + C

En este caso de factorización se tiene un trinomio que tiene raíces reales pero que no son ni repetidas ni siguen el del caso anterior. Para ello se deben conseguir las raíces del polinomio.

X^2 – 5X + 6 = (x – 3) * (x + 2)

Caso #7 - Factoreo por Suma o diferencia de potencias.

Se trata de descomponer factores que compartan una misma potencia.

X^3 + 27 = X^3 + 3^3 = (X + 3) * (X^2 – 3X + 9)

Caso #8 - Factoreo por trinomio de la forma aX^2 + bX + c.

Para este caso se puede factorizar utilizando la ecuación de la resolvente la cual es la siguiente:

X = - b ± √b^2 – 4*a*c / 2*a

4X^2 + 12X + 9

X = - 12 ± √(12)^2 – 4*4*9 / 2*4

X1 = X2 = -1,5

4X^2 + 12X + 9 = (X + 1,5) * (X + 1,5)

Caso #9 - Factoreo por Suma y diferencia de cubos.

Son de la siguiente forma:

a^3 ± b^3 = (a ± b) * (a^2 ± a*b + b^2)

Caso #10 - Factoreo por raíces de un polinomio.
Rectas

Rectas perpendiculares en el plano

Para todas las rectas perpendiculares del
plano se cumple lo siguiente.

 

Postulado de unicidad

En un plano, por un punto perteneciente o
exterior a una recta pasa una y solo una recta perpendicular.

 

Construcción de la perpendicular a una
recta por un punto dado

 

Construcción de la perpendicular (azul) a
la línea AB a través del punto P.

Para construir una perpendicular a la línea
AB a través del punto P usando regla y compás, se procede como sigue:

 

Paso 1 (rojo): se dibuja un círculo con
centro en P para crear los puntos A' y B' en la línea AB, los cuales son
equidistantes a P.

Paso 2 (verde): se dibujan dos círculos
centrados en A' y B', pasando los dos por P. Sea Q el otro punto de
intersección de estos dos círculos.

Paso 3 (azul): se unen P y Q para obtener
la recta perpendicular PQ.

Para probar que PQ es perpendicular a AB,
se utiliza el criterio de congruencia LLL para los triángulos QPA' y QPB' para
demostrar que los ángulos OPA' y OPB' son iguales. Luego se usa el criterio LAL
para los triángulos OPA' y OPB' para demostrar que los ángulos POA y POB son
iguales.

 

Con relación a líneas paralelas

Como se ve en la figura, si dos líneas (a y
b) son perpendiculares a una tercera línea (c), todos los ángulos formados en
la tercera línea son ángulos rectos. Por lo tanto, en Geometría euclidiana,
cualquier par de líneas que son perpendiculares a una tercera línea son
paralelas entre sí, debido al quinto postulado de Euclides. Por el contrario,
si una línea es perpendicular a una segunda línea, también es perpendicular a
cualquier línea paralela a la segunda línea.

 

En la figura, todos los ángulos naranjas
son congruentes entre sí y todos los ángulos verdes son congruentes entre sí,
porque los ángulos opuestos por el vértice son congruentes y los ángulos
alternos interiores formados por un corte transversal de líneas paralelas son
congruentes. Por lo tanto, si las líneas a y b son paralelas, cualquiera de las
conclusiones siguientes conduce a todas las demás:

 

Uno de los ángulos del diagrama es un
ángulo recto.

Uno de los ángulos naranja es congruente
con uno de los ángulos verdes.

La línea c es perpendicular a la línea a.

La línea c es perpendicular a la línea b.

 

 

Razones trigonometricas

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones
establecidas con el fin de extender la definición de las razones
trigonométricas a todos los números reales y complejos. Estas usualmente
incluyen términos que describen la medición de ángulos y triángulos, tal como
seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

Conceptos generales

Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física,
astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de
fenómenos periódicos, y otras de muchas aplicaciones.

Las funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre
dos lados de un triángulo rectángulo, asociado a sus ángulos. Las funciones
trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de
razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia
unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series
infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo
su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

 

Existen seis funciones trigonométricas básicas. Las últimas cuatro, se
definen en relación de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir
geométricamente o por medio de sus relaciones. Algunas funciones fueron comunes
antiguamente, y aparecen en las primeras tablas, pero no se utilizan
actualmente ; por ejemplo el verseno (1 − cos θ) y la exsecante (sec θ − 1).

 


 

  

  
Función
  
  

  
Abreviatura
  
  

  
Equivalencias (en
  radianes)
  
 
 

  

  
Seno
  
  

  
sen, sin
  
  

  
{\displaystyle
  \operatorname {sen} \;\theta \equiv {\frac {1}{\csc \theta }}\equiv \cos
  \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {\cos \theta }{\cot
  \theta }}\,}
  
 
 

  

  
Coseno
  
  

  
cos
  
  

  
{\displaystyle
  \cos \theta \equiv {\frac {1}{\sec \theta }}\equiv \operatorname {sen}
  \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {\operatorname {sen}
  \theta }{\tan \theta }}\,}
  
 
 

  

  
Tangente
  
  

  
tan, tg
  
  

  
{\displaystyle
  \tan \theta \equiv {\frac {1}{\cot \theta }}\equiv \cot \left({\frac {\pi
  }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta
  }}\,}
  
 
 

  

  
Cotangente
  
  

  
ctg (cot)
  
  

  
{\displaystyle
  \cot \theta \equiv {\frac {1}{\tan \theta }}\equiv \tan \left({\frac {\pi
  }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta
  }}\,}
  
 
 

  

  
Secante
  
  

  
sec
  
  

  
{\displaystyle
  \sec \theta \equiv {\frac {1}{\cos \theta }}\equiv \csc \left({\frac {\pi
  }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {\tan \theta }{\operatorname {sen} \theta
  }}\,}
  
 
 

  

  
Cosecante
  
  

  
csc (cosec)
  
  

  
{\displaystyle
  \csc \theta \equiv {\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}\equiv \sec
  \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {\cot \theta }{\cos
  \theta }}\,}
  
 


 

Identidades
trigonometrícas

Una identidad
trigonométrica es una igualdad que vincula dos funciones trigonométricas y es
válida en el dominio común o descartando los puntos que anulan alguna función
en caso de ser divisor. Son ligadas las funciones por operaciones racionales,
potencias de exponente entero. En las fórmulas aún se acude a raíz cuadrada. Los
ángulos se suman algebraicamente, se multiplican o se dividen por enteros
positivos y luego actúan como argumento de alguna función.

Funciones
trigonométricas

sen α = y, cos α
= x en ΔR de hipotenusa 1, cateto contiguo x, cateto opuesto y, respecto a α;

tg α = sen α:
cos α ; α≠ π//2 + πk, para k entero

ctg α = cos α :
sen α ; α ≠ πk, para k entero

sec α = 1/cos α,
α≠ π/2 + πk, para k entero

cosec α = 1/sen
α; α ≠ πk, para k entero.



Relaciones básicas




 

  

  
Periodicidad {\displaystyle 2\pi }
  
  

  
{\displaystyle \cos \theta =\operatorname {sen} \left({\frac {\pi
  }{2}}+\theta \right)}
  
 
 

  

  
Simetría
  
  

  
{\displaystyle \operatorname {sen} \theta =-\operatorname
  {sen}(-\theta )}
  
 
 

  

  
Relación
  pitagórica
  
  

  
{\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}
  
 
 

  

  
Identidad de la
  razón
  
  

  
{\displaystyle \tan \theta ={\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos
  \theta }}}
  
 


De estas
identidades, se puede elaborar la siguiente tabla. Para obtener el signo
correcto en algunos casos se necesitará saber los valores para los cuales la
función trigonométrica en cuestión es negativa o positiva.

 

Álgebra

Para otros usos
de este término, véase Álgebra sobre un cuerpo.

El álgebra (del
árabe: الجبر al-ŷabr ‘reintegración, recomposición’)​ es la rama de la
matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas
acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados
como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente
fue una generalización y extensión de la aritmética.2​3​ En el álgebra moderna
existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de
la aritmética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.).

 

Introduccion

A diferencia de
la aritmética elemental, que trata de los números y las operaciones
fundamentales, en álgebra -para lograr la generalización- se introducen además
símbolos (usualmente letras) para representar parámetros (variables o
coeficientes), o cantidades desconocidas (incógnitas); las expresiones así formadas
son llamadas «fórmulas algebraicas», y expresan una regla o un principio
general.4​ El álgebra conforma una de las grandes áreas de las matemáticas,
junto a la teoría de números, la geometría y el análisis.

La palabra
«álgebra» proviene del vocablo árabe الجبر al-ŷabar (en árabe dialectal por
asimilación progresiva se pronunciaba [alŷɛbɾ] de donde derivan los términos de
las lenguas europeas), que se traduce como 'restauración' o 'reponimiento,
reintegración'. Deriva del tratado escrito alrededor del año 820 d. C. por el
matemático y astrónomo persa Muhammad ibn Musa al-Jwarizmi (conocido como Al
Juarismi), titulado Al-kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-ŷarabi waˀl-muqābala
(Compendio de cálculo por reintegración y comparación), el cual proporcionaba
operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y
cuadráticas. Muchos de sus métodos derivan del desarrollo de la matemática en
el islam medieval, destacando la independencia del álgebra como una disciplina
matemática independiente de la geometría y de la aritmética.5​ Puede
considerarse al álgebra como el arte de hacer cálculos del mismo modo que en
aritmética, pero con objetos matemáticos no-numéricos.

El adjetivo
«algebraico» denota usualmente una relación con el álgebra, como por ejemplo en
estructura algebraica. Por razones históricas, también puede indicar una
relación con las soluciones de ecuaciones polinomiales, números algebraicos,
extensión algebraica o expresión algebraica. Conviene distinguir entre:

 

Álgebra
elemental es la parte del álgebra que se enseña generalmente en los cursos de
matemáticas.

Álgebra
abstracta es el nombre dado al estudio de las «estructuras algebraicas»
propiamente.

El álgebra
usualmente se basa en estudiar las combinaciones de cadenas finitas de signos
y, mientras que análisis matemático requiere estudiar límites y sucesiones de
una cantidad infinita de elementos.

Geometria

La geometría
(del latín geometrĭa, y este del griego γεωμετρία de γῆ gē, ‘tierra’, y μετρία
metría, ‘medida’) es una rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de
las propiedades de las figuras en el plano o el espacio,1​ incluyendo: puntos,
rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas,
superficies, polígonos, poliedros, etc.).

 

Es la base teórica
de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a
instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de
posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con
el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).

 

Sus orígenes se
remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su
aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, geografía,
cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística etc., y es útil en la
preparación de diseños e incluso en la fabricación de artesanía.
TRIGONOMETRIA
Razones trigonométricas[editar]
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo ${\displaystyle \alpha \,}$, correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.
El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
${\displaystyle \operatorname {sen} \,\alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {CB}}{1}}={\overline {CB}}}$
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente o contiguo al ángulo y la hipotenusa.
${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {\overline {AC}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {AC}}{1}}={\overline {AC}}}$
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente.
${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {\overline {CB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {DE}}{\overline {AD}}}={\frac {\overline {DE}}{1}}={\overline {DE}}}$
Representación gráfica[editar]
Representación de las funciones trigonométricas en el plano cartesiano (x,y), los valores en el eje x expresados en radianes.

Razones trigonométricas inversas[editar]
Artículo principal: Inverso multiplicativo
La cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razón inversa de seno, o también su inverso multiplicativo:
${\displaystyle \csc \alpha ={\frac {1}{\sin \;\alpha }}={\frac {\overline {AB}}{\overline {CB}}}={\frac {\overline {AG}}{\overline {AF}}}={\frac {\overline {AG}}{1}}={\overline {AG}}}$
En el esquema su representación geométrica es:
${\displaystyle \csc \alpha ={\overline {AG}}}$
La secante: (abreviado como sec) es la razón inversa de coseno, o también su inverso multiplicativo:
${\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \;\alpha }}={\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {AD}}}={\frac {\overline {AE}}{1}}={\overline {AE}}}$
En el esquema su representación geométrica es:
${\displaystyle \sec \alpha ={\overline {AE}}}$
La cotangente: (abreviado como cot o cta o ctg) es la razón inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo:
${\displaystyle \cot \alpha ={\frac {1}{\tan \alpha }}={\frac {\overline {AC}}{\overline {CB}}}={\frac {\overline {FG}}{\overline {AF}}}={\frac {\overline {FG}}{1}}={\overline {FG}}}$
En el esquema su representación geométrica es:
${\displaystyle \cot \alpha ={\overline {FG}}}$
Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés específico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse
Representación gráfica[editar]
Representación de las funciones trigonométricas inversas en el plano cartesiano (x,y), los valores en el eje x expresados en radianes.
Otras funciones trigonométricas[editar]
Además de las funciones anteriores, existen otras funciones trigonométricas. Matemáticamente se pueden definir empleando las ya vistas. Su uso no es muy corriente, pero sí se emplean, dado su sentido geométrico. Veamos:
El seno cardinal o función sinc (x) definida:
${\displaystyle \operatorname {sinc} \;(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$
El verseno, es la distancia que hay entre la cuerda y el arco en una circunferencia, también se denomina sagita o flecha, se define:
${\displaystyle \operatorname {versin} \;\alpha =1-\cos \alpha }$
El semiverseno, se utiliza en navegación al intervenir en el cálculo esférico:
${\displaystyle \operatorname {semiversin} \;\alpha ={\frac {\operatorname {versin} \;\alpha }{2}}}$
El coverseno,
${\displaystyle \operatorname {coversin} \;\alpha =1-\sin \;\alpha }$
El semicoverseno
${\displaystyle \operatorname {semicoversin} \;\alpha ={\frac {\operatorname {coversin} \;\alpha }{2}}}$
La exsecante:
${\displaystyle \operatorname {exsec} \;\alpha =\sec \alpha -1}$
Funciones trigonométricas recíprocas[editar]
Artículo principal: Función recíproca
En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones recíprocas se denominan con el prefijo arco, cada razón trigonométrica posee su propia función recíproca: